quinta-feira, 23 de fevereiro de 2012

Desafio nº1 (Uma Partida ao Avô)


  A Maria é boa aluna a Matemática. Quando estava a um mês de acabar as aulas disse ao avô:

- Sabes avô, eu tenho tido boas notas a todas as disciplinas. Como nas férias grandes vou passar uma semana a Paris precisava da tua ajuda para poder fazer lá umas pequenas compras.
- Fico muito contente por seres boa aluna e acho que mereces que eu te ajude. Diz-me qual é a tua ideia- disse o avô.
- Avô, eu só queria que durante o mês abril, antes de ir fazer a viagem, tu me desses alguns cêntimos por dia. Um cêntimo no primeiro dia, dois cêntimos no segundo, quatro cêntimos no terceiro, oito cêntimos no quarto e assim por diante até ao fim do mês.
O avô pensou que a proposta era razoável, eram apenas alguns cêntimos, e aceitou o que a Maria lhe propôs.
•    Pensas que a Maria vai conseguir juntar dinheiro suficiente para fazer as compras em Paris?
•    Quanto receberá a Maria do seu avô no dia 30?
•    Qual a quantia que a Maria conseguiu juntar no mês de abril?

Esperamos pela publicação da tua resposta até dia 1 de março.

Solução:

 Pensas que a Maria vai conseguir juntar dinheiro suficiente para fazer as compras em Paris?
•    Reposta: Numa primeira análise, parece-nos uma proposta aceitável.
Juntará 300€? 400€? Ou mais? Vamos confirmar.
Quanto receberá a Maria do seu avô no dia 30?
 •    Resposta:
·         Resposta:
d1 =0.01€
d2 =0.02€
d3 =0.04€
d4 =0.08€
d5 =0.16€
 Como é muito trabalhoso, vamos recorrer à ajuda do Excel.



No dia 30 de abril a Maria teria a receber 5 368 709,12€.

Qual a quantia que a Maria conseguiu juntar no mês de abril?
Resposta: S=d1+d2+d3+…+d29+d30= 10 737 418,23 € (Este valor foi obtido com o auxilio do Excel).
Se o avô conseguisse cumprir a sua promessa, teria que dar à Maria 10 737 418,23 €.


Resolução para alunos do 11º e 12º anos de escolaridade:
Estamos na presença de uma progressão geométrica de razão 2.
Ora, o termo geral será, então: dn=0,01x2n-1.
Calculemos então d30:
 d30=0,01x230-1=0,01x229=5 368 709,12€.
A quantia que a Maria receberia corresponde à soma dos 30 primeiros termos da progressão geométrica:



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